FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le XIX^e siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l’étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des fonctions algébriques , du domaine de l’algèbre et de la géométrie algébrique. Généralisées par H. Poincaré, qui a étudié les fonctions «fuchsiennes», elles sont aussi à l’origine de la théorie des fonctions automorphes . Il s’agit là de deux branches très actives des mathématiques contemporaines, qui utilisent simultanément des techniques d’analyse et d’algèbre très élaborées.

Intégrales circulaires et elliptiques

Le calcul intégral classique montre qu’une intégrale de la forme:

où P(x ) est un polynôme du 2^e degré sans racine double, se calcule à l’aide de fonctions dites élémentaires, c’est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple:

si x et t sont réels, ils doivent être compris

entre 梁 1, et l’on a u = Arc sin x , dont la fonction inverse est x = sin u ; comme u reste compris entre 梁 神/2, la période 2 神 de cette fonction inverse n’apparaît pas si l’on prend x et t réels.

Mais prenons-les complexes: si 諸 est l’ensemble des points du plan dont l’affixe est non réel ou réel strictement compris entre 梁 1, la fonction:

a une détermination holomorphe sur 諸, valant 1 à l’origine, qui à son tour a une primitive u (x ) holomorphe sur 諸 et nulle à l’origine. Quand x varie dans 諸 le long de la partie [1, + 秊 [ (resp.] 漣 秊, 漣 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous, u décrit la droite Re u = 神/2 (resp. 漣 神/2) au-dessus ou au-dessous de l’axe réel. De la formule intégrale de Cauchy (cf. FONCTIONS ANALYTIQUES – Fonctions analytiques d’une variable complexe, chap. 5) résulte alors une correspondance conforme biunivoque entre x décrivant 諸 et u décrivant la bande 嗀 définie par:

Le principe de symétrie de Schwarz (cf. FONCTION ANALYTIQUE - Fonctions analytiques d’une variable complexe, chap. 4) permet de prolonger cette correspondance par symétrie par rapport aux frontières rectilignes de 諸 et 嗀: après ce prolongement, à deux valeurs de u symétriques par rapport à l’une des droites Re u = 梁 神/2 correspondent deux valeurs de x symétriques par rapport à l’axe réel, donc à deux valeurs de u différant de 2 神 correspond la même valeur de x . Ainsi l’inversion de l’intégrale circulaire:

effectuée dans le champ complexe, donne une fonction de période 2 神, qui, d’autre part, est évidemment solution de l’équation différentielle:

Ce raisonnement, dont le principe est de Carl Jacobi (1804-1851), s’applique aussi à l’intégrale elliptique:

où P est le degré 3 ou 4, sans racine double. Prenons par exemple:

Cette intégrale a une détermination holomorphe sur 諸, positive sur la partie ] 見, + 秊[ de la frontière. Cette détermination, à son tour, a une primitive u (x ) holomorphe sur 諸 et nulle à l’infini. Quand x varie dans 諸 le long de la frontière, passant successivement par + 秊, 見, 廓, 塚, 漣 秊, u décrit le périmètre 0, a , b , c , 0 d’un rectangle, où a et ic sont réels 麗 0; comme dans le cas précédent, la correspondance conforme biunivoque, entre x décrivant 諸 et u décrivant l’intérieur 嗀 de ce rectangle, se prolonge par symétrie par rapport aux frontières rectilignes de 諸 et 嗀. Après ce prolongement, x prend la même valeur en deux points u symétriques par rapport à l’un des sommets du rectangle, donc admet un groupe (additif) de périodes engendré par 精 = 2 a , 精 = 2 ic , dont le rapport est imaginaire pur.

Ainsi l’inversion de l’intégrale elliptique:

donne une fonction doublement périodique, qui d’autre part est évidemment solution de l’équation différentielle:

Propriétés générales des fonctions analytiques uniformes admettant un groupe de périodes donné G

Le cas intéressant est celui qu’on vient de rencontrer, où G est engendré par deux périodes 精, 精 dont le rapport n’est pas réel. Une fonction holomorphe ou méromorphe (c’est-à-dire quotient de deux fonctions holomorphes) sur le plan complexe C, admettant le groupe de périodes G, peut être restreinte à un parallélogramme de périodes de sommets u , u + 精, u + 精 , u + 精 + 精 , sur lequel elle prend toutes ses valeurs, ou bien considérée comme une fonction holomorphe ou méromorphe sur la variété compacte connexe C/G.

D’après le principe du maximum , cette fonction ne peut être holomorphe sans être constante; on appellera donc G-elliptique une fonction f méromorphe sur C admettant le groupe de périodes G, ou bien méromorphe sur C/G. Si f prend la valeur x aux points w ¹(x ), ..., w ⁿ (x ) de C/G (points distincts sauf pour une nombre fini de valeurs de x ), on montre que l’entier n ne dépend pas de x , c’est l’ordre de la fonction f ; d’après la formule intégrale de Cauchy prise le long du périmètre d’un parallélogramme de périodes, les images réciproques dans C des points w ^j (x ), déterminées chacune modulo G, ont une somme indépendante (modulo G) de x . Une application géométrique de cette propriété est donnée dans l’article COURBES ALGÉBRIQUES, chapitre 7. Il résulte d’autre part que l’ordre de f est au moins 2.

Soit maintenant g une autre fonction G-elliptique, prenant les valeurs y ^j (x ) aux points w ^j (x ); le développement de:

est un polynôme en g de degré n dont les coefficients sont des fonctions rationnelles 1, r ¹(x ), ..., r ⁿ (x ); on a donc, entre les deux fonctions G-elliptiques quelconques f et g , la relation algébrique :

En particulier, f et sa dérivée f sont liées par une relation algébrique: toute fonction G-elliptique est solution d’une équation différentielle algébrique.

Soit encore h une fonction G-elliptique, prenant les valeurs z ^j (x ) aux points w ^j (x ); le développement de:

est encore un polynôme en g , cette fois de degré 麗 n , dont les coefficients sont des fonctions rationnelles s ¹(x ), ..., s ⁿ (x ); on a donc, entre les trois fonctions G-elliptiques f , g , h , la relation algébrique:

d’où l’on peut tirer h en fonction rationnelle de f et g pourvu que P ^g (f , g ) 0. Ainsi les fonctions G-elliptiques sont exactement les fonctions rationnelles de deux d’entre elles, f et g , choisies de manière que, pour un x convenable, une valeur y ^j (x ) soit distincte de toutes les autres. Les raisonnements de cet alinéa et du précédent peuvent être faits sur une variété compacte quelconque.

Les fonctions de Weierstrass

L’ordre d’une fonction G-elliptique étant au moins 2, on en cherche une d’ordre 2: la somme de la série de terme général 1/(u 漣 精)², pour 精 捻G, répondrait à la question si elle avait un sens; une légère modification, dont le seul but est d’assurer la convergence nécessaire, donne la fonction de Karl Weierstrass (1815-1897), notée par lui d’un p gothique:

C’est une fonction paire et G-elliptique d’ordre 2, car l’origine en est un pôle double, et le seul pôle modulo G; au voisinage de l’origine, on a:

avec:

Du développement (2), il résulte que:

est holomorphe et nulle à l’origine, d’où la formule fondamentale:

prouvant que x = (u ) est fonction inverse de l’intégrale elliptique:

considérée au chapitre 1, ou encore que x = face=F9828 p(u ), y = face=F9828 p (u ) est une représentation paramétrique de la cubique:

qui, pour cette raison, est dite elliptique (cf. COURBES ALGÉBRIQUES, chap. 7).

Aux deux points de C/G, où p prend une valeur donnée x , face=F9828 p prend des valeurs opposées; par suite (cf. chap. 2), les fonctions G-elliptiques sont exactement les fonctions rationnelles de face=F9828 p et face=F9828 p . De la formule de Weierstrass :

résultent, d’abord, une relation algébrique entre face=F9828 p(u ), face=F9828 p(v ), face=F9828 p(u + v ), puis une relation algébrique entre f (u ), f (v ), f (u + v ) pour une fonction G-elliptique quelconque f . Le problème de Weierstrass est la recherche des fonctions f analytiques uniformes ayant cette propriété: ce sont les fonctions rationnelles de la variable ou de l’exponentielle, et les fonctions elliptiques.

Les autres fonctions de Weierstrass attachées à G, 﨣 et 靖, respectivement méromorphe et holomorphe partout, ne sont pas G-elliptiques, mais sont liées à face=F9828 p par les formules:

elles permettent d’exprimer toute fonction G-elliptique d’ordre n soit en combinaison linéaire de n fonctions dérivées de translatées de 﨣, soit comme quotient du produit de n translatées de 靖 par le produit de n autres translatées de 靖.

Les fonctions de Jacobi

Les développements en séries de face=F9828 p et 﨣, en produit infini de 靖, convergent lentement: si l’on garde seulement les termes ou facteurs correspondant aux périodes 精 de modules 諒 k , l’erreur commise est de l’ordre de 1/k ; le calcul numérique exige une convergence plus rapide, au moins celle d’une série géométrique, qu’on obtient en formant d’autres fonctions.

Choisissons un couple de périodes 精, 精 engendrant le groupe G: le rapport 精 / 精 n’étant pas réel, on peut supposer sa partie imaginaire 礪 0, et, de plus, aussi grande que l’on veut, pour que le développement (6) ci-dessous converge plus vite; alors = exp ( 神i 精 / 精) est le module 麗 1, aussi petit que l’on veut. On note:

somme portant sur tous les entiers k : c’est une fonction holomorphe partout, impaire, vérifiant:

elle ne dépend que des rapports 精 / 精 et u / 精.

Par suite, la fonction méromorphe paire:

admet les demi-périodes 精 et 精 , et la fonction méromorphe impaire:

admet la demi-période 精 et la période 精 ; on obtient les fonctions 2 G-elliptiques (2 G-homothétique de G dans le rapport 2) cn u et sn u en les multipliant respectivement par des constantes telles que cn 0 = sn 精/2 = 1. La notation de ces nouvelles fonctions rappelle celle des fonctions circulaires cos et sin en raison de certaines analogies: ainsi cn²u + sn²u = 1; comme ces fonctions ne dépendent que des rapports 精 / 精 et u / 精 on peut choisir 精 en fonction de 精 / 精 de manière que les développements de Maclaurin commencent par:

où k ² ne dépend que de 精 / 精; sn u est alors solution de l’équation différentielle:

donc s’obtient aussi par inversion de l’intégrale elliptique de Legendre :

La fonction modulaire

Les formules (3) associent au groupe G les nombres g ² et g ³, appelés invariants de G; on peut en effet les considérer comme fonctions d’un couple 精, 精 de périodes engendrant G, et ces fonctions sont inchangées quand on remplace le couple 精, 精 par un autre couple engendrant G, donc par un couple a 精 + b 精 , c 精 + d 精 , où a , b , c , d sont des entiers tels que ad 漣 bc = 1.

En outre, le rapport g ²³/g ³² est conservé par une homothétie sur G, donc est fonction du rapport 﨣 = 精/ 精 des deux périodes engendrant G, fonction inchangée quand on effectue sur la variable 﨣 une subtitution modulaire :

La fonction modulaire J est celle qui à 﨣 = 精/ 精 fait correspondre:

elle n’a de sens que pour 﨣 non réel, c’est pourquoi on la considère sur le demi-plan supérieur Im 﨣 麗 0, où elle est holomorphe; elle est invariante par les substitutions modulaires, en particulier par la translation 﨣 料 﨣 + 1. C’est donc aussi, pour |w | 麗 1, une fonction holomorphe de w = exp (2 神i 﨣), à savoir:

Le groupe modulaire , formé des substitutions modulaires, opérant sur le demi-plan supérieur, admet le domaine fondamental défini par les inégalités:

cela veut dire que les images de par les substitutions modulaires (la figure ci-contre en indique quelques-unes) sont deux à deux disjointes tandis que les images de 漣 (réunion de et sa frontière) couvrent le demi-plan. La jonction J réalise une bijection holomorphe de sur l’ensemble des points du plan dont l’affixe est non réel ou réel 礪 1.

En particulier, la dérivée J ne s’annule qu’aux points i et j de la frontière de , où J prend les valeurs 1 et 0 respectivement, et aux points images des précédents par les substitutions modulaires; par suite, la fonction analytique multiforme inverse de J, dont les valeurs appartiennent au demi-plan supérieur, se prolonge analytiquement le long de tout chemin, tracé dans le plan, évitant les points 0 et 1.

De là résulte que, pour les fonctions holomorphes omettant deux valeurs distinctes, donc aussi pour les fonctions méromorphes omettant trois valeurs distinctes, on retrouve certaines propriétés des fonctions holomorphes à valeurs dans un demi-plan ou, ce qui revient au même par composition avec une homographie, des fonctions holomorphes bornées. Ainsi, du fait qu’une fonction non rationnelle, méromorphe partout, ne peut être bornée sur le complémentaire X d’un disque (théorème assez élémentaire, qui est dû à Liouville ), on déduit, grâce à la fonction modulaire, qu’une telle fonction ne peut omettre trois valeurs sur X (ce dernier théorème, beaucoup plus profond, est dû à Picard ).

Les fonctions automorphes

On doit à Henri Poincaré (1854-1912) une vaste extension des fonctions elliptiques. Les translations étant des automorphismes du plan, c’est-à-dire des bijections holomorphes du plan sur lui-même, et les fonctions G-elliptiques des fonctions méromorphes sur le plan invariantes par le groupe G d’automorphismes, on peut de même se donner un groupe G d’automorphismes d’un disque ou demi-plan D et chercher des fonctions méromorphes sur D invariantes par G: on les appellera G-automorphes.

Pour qu’il en existe d’autres que les constantes, il est évidemment nécessaire que G satisfasse à la condition suivante, que Poincaré énonçait «G-discontinu», et qu’on énonce maintenant «G-discret»: aucun élément g de G n’est limite d’éléments de G distincts de g . Poincaré montra que cette condition nécessaire est aussi suffisante pour qu’il existe des fonctions G-automorphes (il disait « fuchsiennes ») non constantes.

Lorsque la variété D/G n’est pas compacte, ce qui est le cas général, deux fonctions G-automorphes ne sont pas en général liées par une relation algébrique: ainsi, pour le groupe modulaire, la fonction modulaire J est une fonction automorphe holomorphe, donc aussi e ^J, qui n’est pas liée algébriquement à J. Une fonction automorphe pour ce groupe est liée algébriquement à J, si, et seulement si, comme J d’après la formule (8), cette fonction est une fonction méromorphe de w = exp (2 神i 﨣) pour |w | 麗 1.

Poincaré caractérisa les domaines fondamentaux des groupes G-discrets, et divisa ces groupes en familles suivant la disposition de , dont dépend l’existence d’une relation algébrique entre deux fonctions G-automorphes. La première famille est formée des groupes G pour lesquels la frontière de ne rencontre pas celle de D; ce sont aussi les groupes G pour lesquels la variété D/G est compacte, de sorte que deux fonctions G-automorphes quelconques sont liées par une relation algébrique.

Inversement, à toute relation algébrique entre deux variables x et y , on peut associer un groupe G-discret et un couple de fonctions G-automorphes non constantes f et g liées par cette relation; autrement dit, toute courbe algébrique peut être paramétrée à l’aide d’un couple de fonctions automorphes: x = f ( 﨣), y = g ( 﨣). Ce résultat remarquable de Poincaré, publié en 1881, généralise le fait que toute cubique non unicursale, donc aussi toute courbe algébrique de genre 1 (cf. COURBES ALGÉBRIQUES, chap. 6 à 8), peut être paramétrée à l’aide d’un couple de fonctions elliptiques.

Les fonctions périodiques de plusieurs variables complexes

La construction de la fonction face=F9828 p de Weierstrass montre, parmi bien d’autres choses, qu’étant donné deux nombres complexes 精¹, 精² linéairement indépendants sur le corps R des nombres réels il existe toujours une fonction méromorphe sur le plan C, dont le groupe de périodes est exactement celui qu’engendre le couple 精¹, 精².

Il n’en est plus ainsi lorsqu’on passe à m variables complexes, m 閭 2. Étant donné 2 m vecteurs 精¹, ..., 精^2m dans C^m (écrits dans la suite comme colonnes d’une matrice T à m lignes), linéairement indépendants sur R, pour qu’il existe une fonction méromorphe sur C^m , dont le groupe de périodes soit exactement celui qu’engendrent 精¹, ..., 精^2m , il faut et il suffit que ces 2 m vecteurs soient liés par les conditions de Frobenius suivantes: Il existe une matrice carrée A d’ordre 2 m , inversible et symétrique gauche, à éléments entiers, telle que la matrice symétrique gauche (d’ordre m ) TA(^t T) soit nulle, ce qui fait m (m – 1)/2 équations linéaires, et la matrice hermitienne (d’ordre m ) i T 漣A(^t T) définie positive.

D’autre part, le mathématicien Carl Ludwig Siegel a étendu à plusieurs variables le groupe modulaire, sous le nom de groupe modulaire symplectique. Au lieu d’une variable 﨣 telle que (1/i )( 﨣 漣 Z) 礪 0, il considère une matrice carrée symétrique Z d’ordre m , telle que la matrice hermitienne (l/i )(Z 漣 Z) soit définie positive: Z décrit alors, dans C^p avec p = m (m + 1)/2, un domaine de Siegel, qui est lié aux conditions de Frobenius, comme le demi-plan supérieur à la condition 﨣 = 精¹/ 精² non réel. De même que les automorphismes du demi-plan supérieur sont les homographies 﨣 料 (a 﨣 + b )(c 﨣 + d )^-1 avec a , b , c , d réels, ad 漣 bc = 1, ou:

de même les automorphismes du domaine de Siegel sont les applications:

avec A, B, C, D matrices carrées d’ordre m à éléments réels:

(I est la matrice unité pour la multiplication); on obtient le groupe modulaire symplectique en prenant A, B, C, D à éléments entiers.

Encyclopédie Universelle. 2012.